Правилният шестоъгълник и неговите свойства

Определение и конструкция

Правилният шестоъгълник е планарна фигура, която има шест еднакви страни и еднакви равни ъгли.

Ако припомним формулата за сумата от ъглите на многоъгълник

180 ° (п-2),

след това се оказва, че на тази фигура е 720 °. Е, тъй като всички ъгли на фигурата са еднакви, лесно е да се изчисли, че всяка от тях е равна на 120 °.

Изчертайте шестоъгълника е много проста, това е достатъчно за компас и владетел.

Инструкциите стъпка по стъпка ще изглеждат така:

1. Начертава се права линия и върху нея се поставя точка;
2. от тази точка се изгражда кръг (това е неговият център);
3. От пресечната точка на окръжността с линията, която са изградени още две, същите трябва да се сближат в центъра.
4. тогава всички точки от първия кръг са свързани последователно със сегменти.

Ако желаете, можете да направите без линия, като изчертаете пет равни в радиус на кръгове.

Така получената фигура ще бъде правилен шестоъгълник и това може да се докаже по-долу.

Имоти са прости и интересни

За да разберете свойствата на обикновен шестоъгълник, има смисъл да го разчупите на шест триъгълника:

Това ще помогне за по-късно визуално показване на неговите свойства, главният от които:

1. диаметър на оградения кръг;
2. диаметър на вписания кръг;
3. област;
4. периметър.

Ограниченият кръг и възможността за конструиране

Около шестнадесетичен може да се опише кръг и освен това само един. Тъй като тази фигура е правилна, е възможно да се процедира съвсем просто: от двете съседни ъгъла, за да се привлекат вътрешните. Те се пресичат в точка О и образуват заедно със страната между тях триъгълник.

Ъглите между страната на шестоъгълника и ъглополовящи волята на 60 °, така че със сигурност може да се каже, че триъгълникът, например, AOB - равнобедрен. Тъй като третият ъгъл също е равен на 60 °, той също е равномерен. Оттук следва, че сегментите OA и OB са еднакви, което означава, че те могат да служат като радиус на кръг.

След това можете да отидете на следващата страна, а от ъгъла в точка C да изведете и bisectrix. Получени друг равностранен триъгълник със страна AB ще възлезе само за две, а операционната система - на следващия радиус, през който минава един и същи кръг. Общо взето, има шест такива триъгълника и те ще имат общ връх в точката О. Оказва се, че можете да опишете кръга и той е само един и радиусът му е равен на страната на шестоъгълника:

R = a.

Ето защо е възможно да се изгради тази цифра с помощта на компас и владетел.

Е, областта на този кръг ще бъде стандартна:

S = πR²

Вписан кръг

Центърът на оградения кръг ще съвпадне с центъра на вписания кръг. За да се провери това, може да се правят перпендикуляри от точка О до страните на шестоъгълника. Те ще бъдат височините на онези триъгълници, от които се състои шестоъгълникът. И в един равен триъгълник височината е медианата по отношение на страната, върху която лежи. По този начин тази височина не е нищо друго освен средната перпендикулярна, която е радиусът на вписания кръг.

Височината на равностранен триъгълник се изчислява просто:

h2 = a2- (a / 2) 2 = a2 / 4, h = a (√3) / 2

И тъй като R = a и r = h, се оказва, че

r = R (√3) / 2.

По този начин вписаният кръг минава през центровете на страните на редовния шестоъгълник.

Нейната площ ще бъде:

S = 3πa² / 4,

това са три четвърти от описаното.

Периметър и площ

С периметъра всичко е ясно, това е сумата от дължината на страните:

P = 6a, или P = 6R

Но площта ще бъде равна на сумата от всичките шест триъгълника, на която можете да счупите шестнадесетичен. Тъй като площта на триъгълника се изчислява като половината от продукта на основата по височина, тогава:

S = 6 (a / 2) (а (3) / 2) = 6а2 (3) / 4 = 3а2 или

S = 3R2 (√3) / 2

Ако искате да изчислите тази област чрез радиуса на вписания кръг, можете да направите следното:

S = 3 (2r / √3) 2 (√3) / 2 = r 2 (2√3)

Забавни конструкции

В шестоъгълника можете да въведете триъгълник, чиито страни ще свързват върховете чрез един:

Общо, те ще бъдат две, а взаимно се припокриват, ще дадат звездата на Давид. Всеки от тези триъгълници е равномерен. Това не е трудно да се види. Ако погледнете отстрани на Африканския съюз, той принадлежи едновременно към два триъгълника - ВАС и АЕ. Ако в първата от тях AB = BC и ъгълът между тях е 120 °, тогава всеки от останалите ще бъде 30 °. От това можем да направим логични заключения:

1. Височината на ABC от върха B е равна на половината от страната на шестоъгълника, тъй като sin30 ° = 1/2. Онези, които желаят да бъдат убедени в това, могат да бъдат посъветвани да разчитат на питагорейската теорема, е подходящо тук, както е възможно.
2. Страната на АС ще бъде равна на два радиуса на вписания кръг, който отново се изчислява от същата теорема. Това означава, че AC = 2 (a (√3) / 2) = a (√3).
3. Триъгълниците ABC, CDE и AEF са равни и от двете страни, а ъгълът между тях, а следователно равенството на страните AC, CE и EA следва.

Пресичайки се един друг, триъгълниците образуват нов шестоъгълник и също така са правилни. Това е доказано просто:

1. Ъгълът на ABF е равен на ъгъла на BAC. По този начин полученият триъгълник с основата АВ и неназования връх, който се намира срещу него, е равнобедрен.
2. Всички същите триъгълници, чиято основа е страната на шестоъгълника, са равни на страната и ъглите, съседни на нея.
3. Триъгълниците в върховете на шестоъгълника са равномерни и равни, което следва от предходната точка.
4. Ъгловете на новообразувания шестоъгълник са 360-120-60-60 = 120 °.

Така фигурата съответства на знаците на обикновен шестоъгълник - той има шест еднакви страни и ъгли. От равенството на триъгълниците в върховете е лесно да се изведе дължината на страната на новия шестоъгълник:

d = a (√3) / 3

Това ще бъде радиусът на кръга, очертан около него. Радиусът на вписаното ще бъде половината от тази на широкия шестоъгълник, което се доказва при разглеждането на триъгълника ABC. Височината му е само половината от страната, затова втората половина е радиусът на кръг, вписан в малка шестнадесетица:

R2 = a / 2

Площта на новия шестоъгълник може да се изчисли както следва:

S = (3 (√3) / 2) (а (√3) / 3) ² = a (√3) / 2

Оказва се, че площта на шестоъгълника в звездата на Давид е три пъти по-малка от тази в която е вписана звездата.

От теория до практика

Свойствата на шестоъгълника се използват много активно както в природата, така и в различни области на човешката дейност. На първо място, това важи за болтове и ядки - първата и втората шапки не са нищо повече от обикновен шестоъгълник, ако не вземете предвид скобите. Размерът на гаечните ключове съответства на диаметъра на вписания кръг - това е разстоянието между противоположните лица.

Намери своята употреба и шестоъгълни плочки. Тя се разпределя много по-малко четириъгълна, но е по-удобно да се постави: в един момент три плочки са затворени, а не четири. Съставите могат да бъдат много интересни:

Предлага се и бетонова настилка за настилка.

Преобладаването на шестоъгълника в природата е проста. По този начин най-лесният начин е да се поберат кръгове и топки в равнината, ако имат същия диаметър. Поради това пчелните пчели имат такава форма.